式と計算_不定方程式_３つの未知数

1. 次の条件を満たす自然数\(x , y , z\)の組み合わせを求めなさい。\(\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x+y+z=12 \\ 3x+5y+8z=52\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
2. 50円と70円と100円のお菓子を全部で15個買ったところ、金額は1060円だった。100円のお菓子は何個買ったか。考えられる個数をすべて求めなさい。

1. 次の条件を満たす自然数\(x , y , z\)の組み合わせを求めなさい。\(\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x+y+z=12\dots① \\ 3x+5y+8z=52\dots②\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

\(z\)を消去する。\(①×8-②\)

\(5x+3y=44 \)

\(y\)について解くと

\(y= \dfrac{44-5x}{3} \)

\(y\)が自然数になるためには、\(44-5x\)が3の倍数であれば良い。

また\(y>0\)より\(44-5x>0\)、\(x< 8.8…\)つまり、\(x\)は8以下の数を求めれば良いので順番に調べると

x	8	7	6	5	4	3	2	1
y	×	3	×	×	8	×	×	13
(z)	×	2	×	×	0	×	×	-2

※\(z\)は\(x+y+z=12\)から計算

\(z\)が自然数の範囲であるのは\((x,y,z)=(7,3,2)\)のみ

\((x,y,z)=(7,3,2) \)

2. 50円と70円と100円のお菓子を全部で15個買ったところ、金額は1060円だった。100円のお菓子は何個買ったか。考えられる個数をすべて求めなさい。

問題文より連立不等式を立てると

\(\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}x+y+z=15\dots① \\ 50x+70y+100z=1060\dots②\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

②÷10

\(5x+7y+10z=106 \dots③ \)

①×10-③

\(5x+3y=44 \dots④ \)

④を\(y\)について解くと

\(y= \dfrac{44-5x}{3} \)

\(y\)が自然数になるためには\(44-5x\)が3の倍数になればよい。

また\(y>0\)より\(44-5x>0\)、\(x< 8.8\)つまり、\(x\)は8以下の数を求めれば良いので順番に調べると

x	7	6	5	4	3	2	1
y	3	×	×	8	×	×	13
(z)	5	×	×	3	×	×	1

※\(z\)は\(x+y+z=12\)から計算

\(z\)が自然数の範囲であるのは\((x,y,z)=(7,3,5),(4,8,3),(1,13,1)\)

よって\(z\)の個数として考えられるのは

\(1個,3個,5個 \)

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