分数が整数になる条件
- \(\dfrac{15}{4}\)にかけても\(\dfrac{25}{6}\)にかけても積が正の整数になる分数のうち、最小の分数を求めなさい。
- ある分数を\(\dfrac{45}{28}\)でわっても\(\dfrac{27}{70}\)でわっても商が正の整数になるという。この分数のうち最も小さい分数を求めなさい。
- 分数を整数にするというのは約分したあとの分母が１になるということ。
- 分母を１にするためには、与えられた分数の「分母の(最小)公倍数」を分子にする。
※(最小)は数を小さくするための条件。分母を1にするためだけであれば公倍数であれば良い。 - 最小にするためには、与えられた分数の「分子の最大公約数」を分母にする。
———補足説明———
与えられた分数を\(\dfrac{b}{a}\),\(\dfrac{d}{c}\)、求める分数を\(\dfrac{y}{x}\)とすると、
問題では、\(\left[ \dfrac{b}{a}\times\dfrac{y}{x} \right] \)、\(\left[\dfrac{d}{c}\times\dfrac{y}{x} \right]\)いずれも整数になり、その条件は
- \(\dfrac{15}{4}\)にかけても\(\dfrac{25}{6}\)にかけても積が正の整数になる分数のうち、最小の分数を求めなさい。
- ある分数を\(\dfrac{45}{28}\)でわっても\(\dfrac{27}{70}\)でわっても商が正の整数になるという。この分数のうち最も小さい分数を求めなさい。
求める分数を\(\dfrac{y}{x}\)とすると、\(\left[ \dfrac{15}{4}\times\dfrac{y}{x} \right] \)、
\(\left[\dfrac{25}{6}\times\dfrac{y}{x} \right]\)のどちらも整数になれば良い。
この分数のうち最小の数は
\(y=\)(\(4\)と\(6\)の最小公倍数)\(=12\)
\(x=\)(\(15\)と\(25\)の最大公約数)\(=5\)
よって求める分数は
\( \dfrac{12}{5} \)
求める分数を\(\dfrac{y}{x}\)とし、わり算を逆数のかけ算に直すと、
\(\dfrac{y}{x} \div \dfrac{45}{28}=\dfrac{y}{x} \times \dfrac{28}{45}\)
\(\dfrac{y}{x} \div \dfrac{27}{70}=\dfrac{y}{x} \times \dfrac{70}{27} \)
つまり\(\left[\dfrac{y}{x} \times \dfrac{28}{45} \right] \)、
\(\left[\dfrac{y}{x} \times \dfrac{70}{27}\right]\)のどちらも整数になれば良い。
この分数のうち最小の数は
\(y=\)(\(27\)と\(45\)の最小公倍数)\(=135\)
\(x=\)(\(28\)と\(70\)の最大公約数)\(=14\)
よって求める分数は
\( \dfrac{135}{14} \)
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