個数と総和の公式
- 72の約数の個数を求めなさい。
- 72の約数の総和を求めなさい。
- 600の約数の個数を求めなさい。
- 600の約数の総和を求めなさい。
- 72の約数を二乗した数の総和を求めなさい。
- 与えられた整数を素因数分解する。\(N=a^p \times b^q \times c^r \dots \)
- 約数の個数の公式 「\((p+1)\times(q+1)\times(r+1)\dots \)」で計算する。
- 約数の個数の公式 「\((a^0+a^1\dots+a^p)\times(b^0+b^1\dots+b^q)\times(c^0+c^1\dots+c^r)\dots \)」で計算する。
——約数の個数の公式の説明——
例えば、36を素因数分解すると\(12=2^2 \times 3^2\)、12の約数は\(1,2,3,4,6,9,12,18,36\)
ここで約数の12というのは36の因数のうち2を2個、3を1個選んでかけ合わせた数
同じように、9であれば2を0個、3を2個選んでかけ合わせた数、1であれば2も3も1つも選ばなかった数・・・というように考えることができる。
つまり、「因数を選んでかけ合わせれば約数ができる」ということで、そのすべての場合を求めるためには
2の選び方が(0個,1個,2個)の3通り、3の選び方が(0個,1個,2個)の3通りあるので、ぜんぶで3通り×3通り=9通りになり、約数の個数も9個になる。
公式で、\(p+1\)のように+1があるのは、選び方を考えるときに「選ばない(0個選ぶ)」場合があるから。
——約数の総和の公式の説明——
約数の個数の説明のとおり、因数を選んでかけ合わせれば約数はできる。あとはそれをすべて足し合わせる方法を考えれば良い。
ここで\(N=a^2\times b^3\)である数を考える。これらの約数は次のように書き出すことができる。
| \(b^{0}\) | \(b^{1}\) | \(b^{2}\) | \(b^{3}\) | 行の和 | |
| \(a^{0}\) | \(a^{0} \times b^{0}\) | \(a^{0} \times b^{1}\) | \(a^{0} \times b^{2}\) | \(a^{0} \times b^{3}\) | \(a^{0}(b^0+b^1+b^2+b^3) \) |
| \(a^{1}\) | \(a^{1} \times b^{0}\) | \(a^{1} \times b^{1}\) | \(a^{1} \times b^{2}\) | \(a^{1} \times b^{3}\) | \(a^{1}(b^0+b^1+b^2+b^3) \) |
| \(a^{2}\) | \(a^{2} \times b^{0}\) | \(a^{2} \times b^{1}\) | \(a^{2} \times b^{2}\) | \(a^{2} \times b^{3}\) | \(a^{2}(b^0+b^1+b^2+b^3) \) |
表の赤色の部分をすべて足し合わせれば良いが、まずは行の和を求める。同じ数のかけ算をくくりだすと表内の「行の和」のようになる。
例えば\(a^0\)の行であれば\(a^0 \times b^0+a^0 \times b^1+a^0 \times b^2+a^0 \times b^3=a^0(b^0+b^1+b^2+b^3)\)
次に行の和を足し合わせればすべての和になる。\((b^0+b^1+b^2+b^3)\)がすべてに共通な因数であることに注意するとこれらの和は
\((a^0+a^1+a^2)(b^0+b^1+b^2+b^3)\)
これを公式化したのが総和の公式である。
ここで、\((a^0+a^1+a^2)\)は一番左の列の項目を足し合わせたもの、\((b^0+b^1+b^2+b^3)\)は一番上の項目を足し合わせたものなので、次の結論を得る。
「表でかけ合わせる数の総和(積の総和)は、それぞれの項目を先に足してからかけ合わせた積に等しい。」
このイメージを持っていると約数の総和の公式を覚えやすい。
- 72の約数の個数を求めなさい。
- 72の約数の総和を求めなさい。
- 600の約数の個数を求めなさい。
- 600の約数の総和を求めなさい。
- 72の約数を二乗した数の総和を求めなさい。
素因数分解すると
\(72=2^3 \times 3^2 \)
よって約数の個数は
\((3+1) \times (2+1)=12 \)
\(12個 \)
素因数分解すると
\(72=2^3 \times 3^2 \)
よって約数の総和は
\((2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2) \)
\(=(1+2+4+8)(1+3+9) \)
\(=195 \)
\(195 \)
素因数分解すると
\(600=2^3 \times 3 \times 5^2 \)
よって約数の個数は
\((3+1) \times (1+1) \times (2+1)=24 \)
\(24個 \)
素因数分解すると
\(600=2^3 \times 3 \times 5^2 \)
よって約数の総和は
\((2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1)(5^0+5^1+5^2) \)
\(=(1+2+4+8)(1+3)(1+5+25) \)
\(=1860 \)
\(1860 \)
約数の二乗の総和について考える。
約数の和と同様に表で考えてみると、
| \((b^{0})^2\) | \((b^{0})^1\) | \((b^{0})^2\) | \((b^{0})^3\) | 行の和 | |
| \((a^{0})^2\) | \((a^{{0}} \times b^{{0}})^2\) | \((a^{{1}} \times b^{{0}})^2\) | \((a^{{2}} \times b^{{0}})^2\) | \((a^{{3}} \times b^{{0}})^2\) | \((a^{0})^2 \left\{ (b^0)^2+(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2 \right\} \) |
| \((a^{1})^2\) | \((a^{{0}} \times b^{{1}})^2\) | \((a^{{1}} \times b^{{1}})^2\) | \((a^{{2}} \times b^{{1}})^2\) | \((a^{{3}} \times b^{{1}})^2\) | \((a^{1})^2 \left\{ (b^0)^2+(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2 \right\} \) |
| \((a^{2})^2\) | \((a^{{0}} \times b^{{2}})^2\) | \((a^{{1}} \times b^{{2}})^2\) | \((a^{{2}} \times b^{{2}})^2\) | \((a^{{3}} \times b^{{2}})^2\) | \((a^{2})^2 \left\{ (b^0)^2+(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2 \right\} \) |
よって総和は、\( \left\{ (a^0)^2+(a^1)^2+(a^2)^2 \right\} \times \left\{ (b^0)^2+(b^1)^2+(b^2)^2+(b^3)^2 \right\} \)
※式で証明したが、約数の総和と同じように「表のたてとよこの掛け合わせの総和」なので同じように計算すれば良い。
素因数分解すると
\(72=2^3 \times 3^2 \)
よって、約数の二乗の総和は、
\(7735 \)
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