整数_約数_約数の個数を満たす数

次の条件を満たす整数を小さい方から順に5つ答えなさい。

1. 約数の個数が2個
2. 約数の個数が3個
3. 約数の個数が4個
4. 約数の個数が5個
5. 約数の個数が6個

1. 約数の個数が2個

\((p+1) \times (q+1) \times (r+1) \dots=2 \)

を満たす数を考える。\(p,q,r・・・\)はそれぞれ1以上の整数なのでこれを満たすのは

\(p+1=2 \)

\(p=1 \)

\(N=a^1 \)

\(a\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(2,3,5,7,11 \)

2. 約数の個数が3個

\((p+1) \times (q+1) \times (r+1) \dots=3 \)

を満たす数を考える。\(p,q,r・・・\)はそれぞれ1以上の整数なのでこれを満たすのは

\(p+1=3 \)

\(p=2 \)

\(N=a^2 \)

\(a\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(4,9,25,49,121 \)

3. 約数の個数が4個

\((p+1) \times (q+1) \times (r+1) \dots=4 \)

を満たす数を考える。\(p,q,r・・・\)はそれぞれ1以上の整数なのでこれを満たすのは

\(p+1=2,q+1=2 \)

または

\(p+1=4 \)

\(p+1=2,q+1=2\)のとき、

\(N=a^1 \times b^1 \)

\(a,b\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(6045,21,22・・・① \)

\(p+1=4\)のとき、

\(N=a^3 \)

\(a,b\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(8,27,625・・・② \)

①、②より小さい順に並べると

\(6,8,10,14,15 \)

4. 約数の個数が5個

\((p+1) \times (q+1) \times (r+1) \dots=5 \)

を満たす数を考える。\(p,q,r・・・\)はそれぞれ1以上の整数なのでこれを満たすのは

\(p+1=5 \)

\(p=4 \)

\(N=a^4 \)

\(a\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(16,81,625,2401,14641 \)

5. 約数の個数が6個

\((p+1) \times (q+1) \times (r+1) \dots=6 \)

を満たす数を考える。\(p,q,r・・・\)はそれぞれ1以上の整数なのでこれを満たすのは

\(①p+1=3,q+1=2 \)

\(②p+1=2,q+1=3 \)

\(③p+1=6 \)

の３パターン。それぞれの場合について調べる。

①のとき

\(N=a^2 \times b^1 \)

\(a,b\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(12,20,28,44,45・・・ \)

②のとき

\(N=a^1 \times b^2 \)

\(a,b\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(18,50,75,98・・・ \)

③のとき

\(N=a^5 \)

\(a\)は素数なので小さいほうから順に当てはめると、

\(32,243,3125・・・ \)

これらを小さい順に並べると

\(12,18,20,28,32 \)

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