整数_素因数分解_連続する整数の積

素因数分解

連続する整数の積

例題

次の条件を満たす整数を小さい方から順に5つ答えなさい。

\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、2で何回割り切れることができるか。
\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、末尾から何個の0が並ぶか求めなさい。
たとえば、\(1025000\)という数は末尾からならぶ0の個数は3個である。
\(N=1\times2\times3\times \dots (n-1) \times n\)が\(3^6\)で割り切れるような最小の\(n\)を求めなさい。
\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、8で何回割り切れることができるか。

まずはこう解け!

解答

\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、2で何回割り切れることができるか。

すべてを素因数分解するわけにはいかないので、\(2\)の因数\((\times2)\)が何個あるか調べる。

\(2^1=2\)の倍数 ➡ \(50÷2=25\)個

\(2^2=4\)の倍数 ➡ \(50÷4=12\)個・・・\(2^2\)は\(2^1\)より\((\times2)\)が1つ多いのでその分、個数を足す。

\(2^3=8\)の倍数 ➡ \(50÷8=6\)個・・・\(2^3\)は\(2^2\)より\((\times2)\)が1つ多いのでその分、個数を足す。

\(2^4=16\)の倍数 ➡ \(50÷16=3\)個・・・以下同じ

\(2^8=32\)の倍数 ➡ \(50÷32=1\)個

【イメージ】

よって2の因数は\(25+12+6+3+1=47\)個

\(47回 \)

\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、末尾から何個の0が並ぶか求めなさい。

例えば12に対して末尾に0が１つ付いた120は\(12\times10\)であり、0が2つ付いた1200は\(12\times10^2\)である。

つまり、\((\times10)\)をするたびに末尾に\(0\)が増える。

ここで\(10=2\times5\)であることに注意する。小さい方から順に数を並べた積の中には、\((\times2)\)の方が多く\((\times5)\)の方が少ない。

\((\times2)\)が十分多いと考えることができるので、\((\times5)\)の個数によって\((\times10)\)の個数が決まる。

\(5^1=5\)の倍数 ➡ \(50÷5=10\)個

\(5^2=25\)の倍数 ➡ \(50÷25=2\)個

よって5の因数は\(10+2=12\)個であり、これが\((\times10)\)の個数であり、末尾から並ぶ0の個数である。

\(12個 \)

\(N=1\times2\times3\times \dots (n-1) \times n\)が\(3^6\)で割り切れるような最小の\(n\)を求めなさい。

3の因数が6個出てくれば良い。

n=3のとき、(Nに含まれる3の因数)=1個

n=6のとき、(Nに含まれる3の因数)=2個

n=9のとき、(Nに含まれる3の因数)=4個・・・\(9=3^2\)のため

n=12のとき、(Nに含まれる3の因数)=5個

n=15のとき、(Nに含まれる3の因数)=6個

よって

\(n=15 \)

\(N=1\times2\times3\times \dots \times49\times50\)のように1から50までの積で表される整数Nは、8で何回割り切れることができるか。

①の問題のように\((\times8)\)の個数を考えても合わない。なぜなら、\(8=2^3\)であり\(8\)は\(2\)の因数でできているからである。

Nの中に\(2\)の因数は47個(\(N=2^{47}\times \dots \))、これを\(2^3\)で割っていくので

\(47 \div 3 =15 \dots 2\)、よって15回割り切れる。

\(15回 \)

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