方程式_文章題_売買損益

1. 96000円である商品を何個か仕入れ、原価の\(40％\)の利益を見込んで定価をつけた。仕入れた個数の8割が売れ、2割が売れ残ったため、利益はこの商品の原価72個分であった。
     この商品の原価と仕入れた個数を求めなさい。
2. 原価2500円の品物に\(x％\)の利益を見込んで定価をつけたところ、売れなかったため、\(x％\)引きで売ったところ900円の損失が出た。\(x\)を求めなさい。
3. ある商品は今の定価より\(x％\)値上げすると、売れる個数が\(\dfrac{x}{5}％\)減るという。売り上げを今より\(75％\)増やしたいとき、定価を何％値上げすれば良いか。
   なお、値上げ後の定価は今の定価の\(3\)倍より安いものとする。

1. 96000円である商品を何個か仕入れ、原価の\(40％\)の利益を見込んで定価をつけた。仕入れた個数の8割が売れ、2割が売れ残ったため、利益はこの商品の原価72個分であった。
     この商品の原価と仕入れた個数を求めなさい。

この商品の原価を\(x\)円と仕入れた個数を\(y\)個として、関係を式にすると

\(\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}xy=96000\dots① \\ \left(1+\dfrac{40}{100}\right)x\times 0.8y-xy=x\times 72\dots②\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

ここからは計算

②を\(x\)で割ると(\(x≠0\)が前提)

\(
  \begin{eqnarray}
  \left(1+\dfrac{40}{100} \right) \times 0.8 y – y &=& 72 \\
\dfrac{140}{100} \times 0.8  y – y &=& 72 \\
\dfrac{112}{100} y – y &=& 72 \\
112 y – 100y &=& 7200 \\
12y &=& 7200 \\
y &=& 600
\end{eqnarray}
\)

\(y=600\)個であり、①より

\(x=96000÷600=160円 \)

よって

\(160円,600個 \)

2. 原価2500円の品物に\(x％\)の利益を見込んで定価をつけたところ、売れなかったため、\(x％\)引きで売ったところ900円の損失が出た。\(x\)を求めなさい。

関係を式で表すと

\(2500 \times \left(1+ \dfrac{x}{100} \right) \times \left(1- \dfrac{x}{100} \right)-2500=-640 \)

計算すると

\(
  \begin{eqnarray}
  2500 \times \left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right)-2500 &=&-900 \\
  2500 – 2500 \times \dfrac{x^2}{10000}-2500 &=&-900 \\
  -2500 \times \dfrac{x^2}{10000} &=&-900 \\
  x^2 &=& \dfrac{900 \times 10000}{2500} \\
  x &=& ± \dfrac{30 \times 100}{50} \\
  x &=& ± 60
\end{eqnarray}
\)

題意より\(x>0\)より、\(x=60\)

\(x=60 \)

3. ある商品は今の定価より\(x％\)値上げすると、売れる個数が\(\dfrac{x}{5}％\)減るという。売り上げを今より\(75％\)増やしたいとき、定価を何％値上げすれば良いか。
   なお、値上げ後の定価は今の定価の\(3\)倍より安いものとする。

今の定価を\(a\)円、今の売れている個数を\(b\)円とし、関係を式で立てると

\( \left(1+ \dfrac{x}{100} \right)a \times \left(1- \dfrac{ \scriptsize{ \dfrac{1}{5}x}}{100} \right)b=ab \times   \left(1+ \dfrac{75}{100} \right) \)

全体を\(ab\)で割って計算すると、

\(
  \begin{eqnarray}
  \left( 1+ \dfrac{x}{100} \right) \times \left(1- \dfrac{x}{500} \right)&=&1+ \dfrac{75}{100} \\
  1 +\dfrac{4x}{500}-\dfrac{x^2}{50000} &=&\dfrac{175}{100} \\
  50000 + 400x – x^2 &=& 87500
  x^2 – 400x + 37500 &=& 0 \\
  (x-250)(x-150)&=&0 \\
  x &=& 150,250
\end{eqnarray}
\)

\(x=250\)のとき、値上げ後は\( \left(1+\dfrac{250}{100} \right)=3.5 \)倍となり題意と合わない。

よって

\(x=150 \)

\(150％ \)

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